破解密码技术

在本文中，我们将对以下内容进行概述：对称加密协议以及为何需要这些协议非对称加密现在，让我们来了解一下相关的内容。在这里，我们将讨论一些概述、密码学的例子，以及破解密码的规则。我们逐一来探讨这些内容吧。

概述

有一个密钥负责加密消息，而正是这个密钥可以用来解密消息。这样，Alice和Bob就可以在达成一致后交换消息了。但是，他们如何能在被窃听者监视的网络中达成对秘密密钥的共识呢？假设那个窃听者是Eaves！为了解决这个问题，我们可以使用非对称密钥来达成共识。

示例/例子

Alice使用Bob的公钥来加密她的消息，因为只有Bob能够用自己的私钥来解密这些消息。 同样，Bob使用Alice的公钥来加密他的消息。只有Alice的私钥才能解密这些被加密的消息。 现在，Alice也可以使用这种方法来验证自己与Bob之间的身份关系。 她可以使用自己的私钥来加密消息，然后再用Bob的公钥来加密这个加密后的结果。 当鲍勃用他的私钥对消息进行解密时，他发现已经存在一个加密层了。 现在，如果可以用Alice的公钥来加密这个数据的话，那么就可以确保，真正进行加密操作的人就是Alice了。

生成私钥

现在，让我们来了解一下这些密钥最初是如何被生成的。具体情况如下：

接近方式/方法

1. 生成私钥的过程在计算上非常困难。显然，无法通过逆向工程的方式来获取由RSA算法生成的公钥来生成私钥。
2. RSA算法的协议是什么？
3. 我们生成的数字 N，实际上是由两个质数相乘得到的。假设这两个质数分别表示为 p 和 q。
4. 现在，所生成的数字数量相当大（接近一百到一千位）。

p * q = N

示例/例子
让我们通过一个简单的例子来理解它吧。

步骤1：
通过采用上述协议，我们可以用两个素数的相乘来表示n的值。（直接取一个素数来进行计算的话，会导致计算过程变得复杂。）

p=61，q=53。
计算N的值。
N = p * q
N = 3233
应用欧拉的亏数函数，
∅(n) = ∅(p*q)
= ∅(p) * ∅(q)
= (p-1)*(q-1)
= 60 * 52
= 3120

步骤2：
我们没有直接取 N 的值，因为要计算出与 N 互质的数数量的话，计算起来会非常复杂。

请选择 ‘e’；1 <= e <= ∅(n)，并且 e 与 ∅(n) 互质。
按照这个逻辑，如果我们取 e = 17 的话……
那么，Gcd(17,3120)的结果应该是1。
这意味着，这些数字之间应该互质。
我们的公钥为：(e, N) = (17, 3233)

步骤3：
现在，让我们来确定私钥：(d, N)。

e_d = 1 mod ∅(n)
这里，e和∅(n)是互质的数。
根据“乘法逆元”的概念，我们有：
d = e-1mod ∅(n)
寻找 d：
d是通过以下公式计算得出的：
= [(∅(n)) * i + 1] / e

步骤4：
我们不断通过改变 i 的值来进行计算。在这里，我们将 I 取为 1、2、3……等数值，直到得到一个不是小数的结果为止。

当 i = 15 时，我们得到 d 的值为 2753。
因此，我们的私钥就变成了：
(d, N) = (2753, 3233)

步骤5：
在生成了公钥和私钥之后，接下来就可以进行加密和解密操作了。

(m e)d≡ m mod N
在何处
m——这就是消息本身。这种计算方式实际上是一种单向函数。

RSA算法的强大之处在于其使用的随机数N。N的数值越大，算法提取其质因数所需的时间就越长。

什么是密码破解？

在讨论了这个问题之后，接下来我们来探讨一下，究竟如何能够破解密码技术吧！

1. 如果我们能够找到一种方法来处理那些庞大的数字，那么破解安全系统就变得容易了。
2. RSA算法利用这些质因数作为密钥来解密这些信息。为此，我们需要找到某个非常大的数的质因数！
3. 现在，这个过程可能会变得相当乏味且耗时。
4. 我们需要制定一个战略计划，以将这些因素考虑进去。著名的数学家欧拉挺身而出，为我们提供了帮助。他仔细研究了素数问题。
5. 它提出了各种假设，比如模运算之类的概念。基本上，他为RSA密码学中的所有数学问题都提供了相应的解决方案。
6. 模运算：
7. 在这里，我们考虑两个数字相除后的余数。

a ≡ x mod N
当我们进行 a/N的除法运算时，其余数为 --> x。
2 × 3 = 6
6/5 = 1
所以，
2 × 3 除以 5 的余数是 1
其文字表述为：
2*3 ≡ 1 (mod 5)

指数运算与模运算之间的关系

让我们来看看指数运算与模运算之间的关系。

让我们通过一些例子来理解这个问题。

1. 如果我们取3的幂次（3的…次方）的话……k那么，这些数字就是 3、9.27、81、243。
2. 现在，如果我们用10来作为这些数字的模数，那么得到的序列就是：9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, 3……这样的序列一直持续下去。
3. 我们观察到，功率呈上升趋势，但模块循环过程却会不断重复。
4. 我们还注意到，该模式的最后一位数字始终为1。
5. 现在，只要x和N是互质的数，那么x除以N的结果就是0。2 mod N, x3mod N……所有这些数值都具备这一特性。
6. 我们把这种重复图案的持续时间称为“周期”。
7. 在这里，3除以10的余数是4（因为每四位数字之后，这个模式就会重复）。
8. 这个周期就是最小的数值“r”，即：

x r≡ 1 mod N

计算一个数的因子
现在，让我们看看模运算、幂运算以及周期与计算该数的因数之间有什么关系吧。

假设你得到了一个数字N，同时你还知道它的因数p和q。关于p和q的情况，我们一无所知。

N = p × q

步骤1：
选择任意一个小于 N 的数字，设它为 ‘a’。然后判断 a 和 N 是否互质。我们可以通过计算两者的最大公约数来判断这一点。如果 GCD(a, N) = 1，那么 a 和 N 就是互质的。

步骤2：
第二步是计算模N的周期。在这个例子中，我们取N=32，同时假设a=8（因为a和32互质）。假设这个周期为‘r’。

8的幂分别为：8、64、512、4096……
mod 35 = 8, 29, 22, …… 1
我们计算得出，r的值为4。

为了进行这些算术运算，我们需要将 r 除以 2。因此，我们必须确保 r 是一个偶数。之后，我们还需要确保 a 满足某些条件。r/2+1 ≇ 0 mod N。如果其中任何一个条件无法满足，那么我们就需要在初始步骤中选择另一个不同的‘a’值。

步骤3：
在第三步中，我们需要进行一些代数运算。让我们从已知的条件开始着手吧。

ar≡ 1 mod N
减去1之后，结果就是
ar1 ≡ 0 (mod N)