推导纯ALOHA协议的效率

ALOHA系统的效率，指的是所有传输的数据帧中，能够避免发生碰撞的帧所占的比例。也就是说，这些帧不会陷入碰撞之中。
假设有无限多的用户正在使用他们的计算机进行交互操作。每个用户要么在输入文字，要么处于等待状态。最初，所有用户都处于输入文字的状态。当某个用户输入了一行文字后，该用户会停止输入并进入等待状态。然后，该站会发送包含这一行文字的数据包，并检查信道是否成功传输了这条数据。如果传输成功，那么该用户会继续输入文字；否则，该用户需要再次尝试发送数据包，直到成功为止。

帧时间：
可以将“帧时间”定义为传输标准固定长度帧所需的时长。
请注意，帧时间 = 帧长度 / 比特率  

我们假设，有无限多的用户按照泊松分布来生成新的帧，每帧生成的时间平均为N单位时间。当N大于1时，意味着用户的帧生成速率超过了信道的处理能力。因此，大多数帧都会发生冲突。
因此，为了使碰撞次数减少，需要满足 0 < N < 1 的条件。假设每帧时间内有 k 次传输尝试（包括重传）。那么，每帧时间内有 k 次传输的概率也是泊松分布。

让平均传输次数保持不变吧。G以每帧的时间来计算的话。所以，G≥N在负载较低的情况下，即N约为0时，碰撞次数会减少，因此重新传输的次数也会减少。此时，G约等于N。随着负载的增加，碰撞次数会增多，此时G大于N。综合这些因素来看，对于所有的负载情况而言，吞吐量都可以用以下公式来表示：

P0=S/G成功传输的尝试帧所占的比例。
S = 总利润每帧的吞吐量

其中，P’表示某个框架不会发生碰撞的概率。

在图中，第3个框架能够在不发生碰撞的情况下完好无损地到达，需要满足什么条件呢？

设 t 为发送一个帧所需的时间。如果第1个帧在 t0 到 t0 + t 之间的任意时刻被生成，那么它将会与第3个帧发生碰撞。同样地，如果在 t0 + 1 到 t + 2t 之间生成了任何第2个帧，它也会与第3个帧发生碰撞。根据泊松分布，在给定的时间范围内生成 k 个帧的概率可以表示为：

P[k] = [Gk × e^(-G)] / k! （泊松分布）
其中，G表示愿意传输数据的站点数量。

因此，生成零帧的概率，即k=0的概率，为3。

 P[k] = [G0 × e^(-G)] / 0!
P[k] = e^(-2G)

如果某个时间间隔为两个帧的时间长度，那么在该时间间隔内生成的帧的平均数量为2G。在容易发生冲突的“脆弱时期”，再传输一个帧的概率就是……

P0 = e^(-2G)
图中展示了所提供的流量G与吞吐量S之间的关系。可以看出，最大吞吐量出现在某个特定的点。G = 0.5 
S = 0.5 × e^(-2 × 0.5)
= 0.5 × e^-1
= 0.184
= 18.4%

S_max = 0.184。因此，最佳的通道利用率为18.4%。这意味着有82%的帧最终会遭遇碰撞，从而被丢失。